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Ableitung

Eine Ableitung kann mit allen 2D- oder 3D-Datenobjekten durchgeführt werden, unabhängig davon ob diese äquidistante oder diskrete Datenpunkte enthalten. Der Grad der Ableitung ist variabel und kann durch den Benutzer eingestellt werden. Der verwendete Ableitungsalgorithmus kann ebenfalls gewählt werden.

Zur Ableitung stehen zwei unterschiedliche Algorithmen zu Verfügung:

Der Ablauf der Ableitung wird unter folgendem Link genauer Beschreibung:

Beispiele:

Siehe auch

Differentialquotient Algorithmus

Die Ableitung eines jeden Datenpunkts des 2D-Datenobjekts wird aus den mittleren Differentialquotienten zweier benachbarter Datenpunkte berechnet. Diese Operation wird mit allen Datenpunkten des 2D-Objekts durchgeführt und es wird angenommen, dass die Datenpunkte im Bezug auf die x-Achse in aufsteigender Reihenfolge vorliegen.

Die Ableitung wird von beiden Seiten des Datenpunktes P2 wie folgt berechnet:

Es gibt zwei benachbarte Datenpunkte P1(x1;y1) und P3(x3;y3) zu dem Datenpunkt P2(x2;y2).

Die Differentialquotienten müssen berechnet werden um die Steigung S21 zwischen Punkt P2 und P1 und S32 zwischen den Punkten P3 und P2 zu erhalten:

 

und

Die Ableitung D2 des Datenpunktes P2 wird als Durchschnitt der Steigungen S21 und S32:

 

Vorsicht bei der Anwendung auf diskrete 2D-Datenobjekte!

Der Abstand der Datenpunkte wird vernachlässigt. Das könnte relevante Auswirkungen bei der Anwendung auf diskrete 2D-Datenobjekte haben.

Beispiel zur Differentialquotient Ableitung

Der folgende x,y-Datensatz zeigt eine Sinusfunktion:

 

 (Source: LabCognition, Analytical Software GmbH & Co. KG, Leyendeckerstr. 33, 50825 Köln (Cologne), Germany)

Die Ableitungsberechnung mit Hilfe des Differentialquotienten Algorithmus liefert wie erwartet die Cosinus-Funktion:

 

 (Source: LabCognition GmbH & Co. KG, Leyendeckerstr. 33, 50825 Köln (Cologne), Germany)

Savitzky-Golay Ableitung

Die Koeffizienten höherer Ordnung a1 bis aM des Savitzky-Golay Glättungsalgorithmus werden zur Berechnung der numerischen Ableitung von 2D-Datenobjekten verwendet. Die Ableitung für jeden Datenpunkt des 2D-Datenobjekts wird über die Faltung gi berechnet. Diese muss mit m! multipliziert werden um den mth Grad an Ableitungskoeffizienten zu erhalten.

 

Tipp:  Zur Ableitungsberechnung sollte der Grad des Polynoms gröߟer oder gleich 4 sein.

Beispiele für die Savitzky-Golay Ableitung

Der folgende x,y-Datensatz zeigt eine Sinusfunktion:

  (Source: LabCognition, Analytical Software GmbH & Co. KG, Leyendeckerstr. 33, 50825 Köln (Cologne), Germany)

Die Ableitungsberechnung mit Hilfe des Savitzky-Golay Algorithmus liefert wie erwartet die Cosinus-Funktion:

 

Ableitungsparameter

Folgende Parameter können angepasst werden:

Ableitungsgrad

Dieser Wert gibt den Grad der Ableitung an die auf das aktuelle 2D-Datenobjekt angewendet werden soll. Es muss ein Integerwert gröߟer null eingegeben werden.

  • 1 = erste Ordnung

  • 2 =zweite Ordnung

...

  • n = nte Ordnung.

Glättungsfenster

Der Parameter "Glättungsfenster" wird nur im Savitzky-Golay Algorithmus verwendet. Eine ungerade Zahl an Datenpunkten um jeden Datenpunkt des Spektrums herum wird zur Ableitungsberechnung verwendet. Einzelheiten finden Sie in der Savitzky-Golay Dokumentation. Die Anzahl der Datenpunkte kann über das Auswahlfeld gewählt werden.

Tipp:  Mit steigender Ableitungsordnung mussŸ auch die Anzahl der Datenpunkte für das Glättungsfenster erhöht werden. Ist die Zahl der Fensterpunkte zu gering, wird eine Mathematik-Fehlernachricht ausgegeben.

Algorithmus

Der gewünschte Algorithmus kann in Auswahlliste der DropDown-Box ausgewählt werden.

References

K. H. Norris and P. C. Williams, Cereal Chem, 61 #2 (1984), 158

Madden, Anal. Chem., 50 #9 (1978), 1383

Steiner et al., Anal. Chem., 44 #11 (1972), 1906

Savitzky A., and Golay, M.J.E. 1964, Analytical Chemistry, vol. 36, pp. 1627–1639.

Hamming, R.W. 1983, Digital Filters, 2nd ed. (Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall).

Ziegler, H. 1981, Applied Spectroscopy, vol. 35, pp. 88–92.

Bromba, M.U.A., and Ziegler, H. 1981, Analytical Chemistry, vol. 53, pp. 1583–1586.